Understanding Cantor's Diagonal Argument, Countability of Real Numbers, and the Logic behind Infinite Decimal Expansions

Selam! Öncelikle anlaşılır ve adım adım ilerleyelim:

1. Sayılabilirlik ve Cantor'un Diyagonal Argümanı Nedir?

Sayılanabilir (countable) set, elemanlarını doğal sayılarla eşleştirebildiğimiz, yani ilk, ikinci, üçüncü... diye sıralayabildiğimiz kümelerdir. Örneğin doğal sayılar, tam sayılar, veya rasyonel sayılar sayılabilirdir.

Sayılamayan (uncountable) set ise böyle bir eşleme yapılamayan, daha büyük kardinaliteye sahip kümelerdir. Cantor, reel sayıların (özellikle 0 ile 1 arasındaki reel sayıların) sayılabilir olmadığını, dolayısıyla sayısal olarak rasyonellerden "daha büyük" olduğunu kanıtlamıştır.

Cantor’un diyagonal argümanı: Sayılabilir varsaydığımız reel sayıların bir listesini yapalım. Her reel sayının ondalık açılımı sonsuz basamaktan oluşabilir. Cantor, listedeki her sayının ondalık basamağından (örneğin n’inci sayının n’inci basamağını) farklı olacak şekilde yeni bir sayı oluşturur. Bu yeni sayı listedeki hiçbir sayıya eşit olamaz, çünkü en az bir basamakta fark vardır. Böylece sonsuz sayıların sayılabilir olmadığını kanıtlar.

2. "Ondalık Basamak Sayısı Sınırlıysa" Durumu ve Sayılabilirlik

Mesela yalnızca n basamaklı ondalık sayılar düşünürsek, bunların sayısı dahili 10^n ile sınırlıdır. Bu küme elbette sonlu ya da sayılabilirdir. Burada unutmamız gereken nokta, sonsuz basamaklı ondalık kesirler de dahil edilmez. Cantor'un iddiası da işte sonsuz basamaklı sayılar içindir.

Yani;

• Bir basamak: 10 farklı sayı (^1)
• İki basamak: 100 farklı sayı (^2)
• n basamak: ^n farklı sayı

Ancak sonsuz basamaklı ondalık sayıları sınırlayıp sayma dediğimizde bu işlem yapılamaz; bunlar sayılmaz.

3. Sonsuz ve "10^n" Üstü Büyüklükler:

Burada kafa karışıklığı olabiliyor. Örneğin, doğal sayılardan her birini zamani zamanda karşılaştırmak mümkün, yani doğal sayılar sayılabilir.

10^n gibi ifadeler ise n sonsuza giderken sonlu doğal sayıları ifade eder. Örneğin 10^1 = 10, 10^10 milyar bile olsa, dengelemek istediğimizde eşleşme mümkündür; doğal sayılar sonsuz sayıdadır.

Ancak Cantor’un çalışması sonsuz uzunluktaki dizilerde geçerlidir. Örneğin, n sonsuzken anlık sabit basamak sayısı yoktur, sayı hep sonsuz basamaklıdır. İşte burada "sayma" işlemi çok farklıdır.

4. "Listede Dışarıda Kalan Sonsuz Basamaklı Sayı" İddiası ve Ele Alınışı

Diyagonal argümanı ile işaret edilen "dışarıda kalan sayı", gerçekten listede yoktur. Çünkü diyagonal yoluyla yeni oluşturulan sayı, listedeki hiçbir sayı ile aynı basamakta eşleşmez. Eğer dışarıda kalan sayı listede olsaydı, bir basamakta aynı basamak değeri olurdu, ancak iyi seçildiği için her basamak farklıdır.

Sonsuz basamaklı ondalık sayı, ilk iki basamağı atarak bir doğal sayıymış gibi görmek matematiksel olarak doğru değildir çünkü decimal nokta ve sırayla sonsuz basamaklar vardır; sonlu değil. Noktayı kaldırmak ve doğal sayı ile eşlemek direkt uygulanamaz. Sonsuzluğun doğası bu noktada çok önemlidir ve "sonsuz basamaklı ondalık sayı = sonsuz haneli doğal sayı" olarak alınamaz.

5. Asal Sayılar ve Sayılabilirlik

Asal sayılar, doğal sayıların altkümesi olduğu için kaçınılmaz olarak sayılabilirdir. Çünkü daima doğal sayılar altında bir küme oldukları için doğal sayılarla eşlenebilirler. Ama sonsuz basamaklı reel sayılar sayılabilir değildir.

6. Çok Boyutlu Durumda Sayılabilirlik

Örneğin 2 boyutta (x,y), x,y  [0,1) olsun. Her ikisi de sonsuz ondalık basamağa sahip reel sayılardır. Bu durumda noktaların sayısı yine reelin kare kardinalitesindedir ve sayılabilir değildir.

Ancak, sonlu basamaklı ondalık kesirler için (örneğin her biri n basamaklı) toplam sayı 10^{n*d} olur. n ve d sonlu ise bu sayılar sayılabilirdir.

Ancak n ve d sonsuza giderse (sonsuz basamak, sonsuz boyut), 10^{n*d} formunu kullanmak anlamını yitirir ve sonsuz sayılabilirlikten çıkar.

7. Özet ve Kapanış

• Cantor'un diyagonal argümanı, sonsuz basamaklı reel sayıların sayılabilir olmadığını matematiksel olarak kanıtlar. Bu argümanı çürütmek için sonsuzluk ve sonsuz basamaklı sayıların yapısını anlamak gerekir.
• Kısa basamak sayısına sahip tüm ondalık sayı kümeleri sayılabilirdir. 10^n kadar sayıları listelemek mümkündür.
• Asal sayılar gibi doğal sayılar altındaki alt kümeler her zaman sayılabilirdir.
• "Sonsuz basamaklı ondalıkları doğal sayıya dönüştürmek ya da ilk birkaç basamağı yok saymak" yanlış bir işlemdir, matematiksel anlam taşımaz.
• "Tabu" ya da "yanlış" dediğimiz şey, matematikte sağlam tanımlar ve ispatlar ile belirlenir. Bu nedenle Cantor'un teoremleri çok iyi anlaşılmalı, ama bundan korkup göz ardı edilmemeli.

Sonuç olarak, matematikte sonsuzluk ve sayılabilirlik kavramları karmaşıktır ve sezgisel yaklaşımlar yanıltıcı olabilir. Cantor'un diyagonal argümanı yüzlerce yıldır matematikte sağlam bir temele sahiptir ve günümüzde bile geçerlidir.

İstersen matematiksel simgeler, kanıt yapıları veya örneklerle daha derinlemesine açıklayabilirim. Her türlü soru ve tartışma için buradayım.

Hoşça kal, sevgiyle kal! 🤗