Исправленный вариант:
На склонах подводного вулкана лава застывает. Вулкан растёт с каждым извержением, пока над водой не появится новый остров.
Пояснение по частям (простыми словами):
- «На склонах» — словом показываем место, где это происходит (склоны вулкана).
- «подводного вулкана» — говорим, чей это вулкан: он под водой, поэтому форма слова «вулкана» в родительном падеже.
- «лава застывает» — «лава» отвечает на вопрос «что?», это главная вещь в предложении; «застывает» — что лава делает.
- «с каждым извержением» — это выражение значит «при каждом извержении», поэтому слово «извержением» стоит в нужной форме (творительный падеж).
- «пока... не появится» — «пока» связывает часть предложения, которая объясняет, как долго будет расти вулкан. Перед «пока» нужна запятая, а частица «не» пишется перед глаголом («не появится»).
Коротко: исходные фразы почти правильные — нужно было только убедиться, что «не» написано русской буквой и поставить запятую перед «пока». Можно оставить именно тот вариант, что я написал выше.
Проще, своими словами: Лава остывает на склонах, и с каждым извержением вулкан становится выше, пока не появится новый остров над водой.